"다항식의 판별식(discriminant)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
71번째 줄: 71번째 줄:
  
 
* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]
 
* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]
 +
*  
  
 
 
 
 
79번째 줄: 80번째 줄:
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMmQ2Njc4ZjAtODZjMy00ZmFmLWExOTYtZjM4MGFkOWNlNDU4&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMmQ2Njc4ZjAtODZjMy00ZmFmLWExOTYtZjM4MGFkOWNlNDU4&sort=name&layout=list&num=50
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br>
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br>

2012년 5월 28일 (월) 10:13 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다
    \((\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2\)
  • 교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, [[근과 계수와의 관계|]]다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다

 

 

2차식의 판별식

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.

 

 

 

3차식의 판별식
  • 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
  • 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.
    \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\)
  • 근과 계수와의 관계 에 따라
    \(x_1+x_2+x_3=0\)
    \(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\)
    \(x_1 x_2 x_3=-b\)
  • 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자
    \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\)
    \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\)
    \(x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\)
  • 위의 행렬은
    \(\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=다항식의_판별식(discriminant)&oldid=6272"