"대칭군 (symmetric group)"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
* 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸 | * 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸 | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">presentation</h5> |
* 생성원 <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br> | * 생성원 <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br> | ||
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| − | + | 이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}</math>에 정의되는 전단사함수를 말한다. <math>\alpha_1</math>을 <math>\alpha_3</math>으로 보내고, <math>\alpha_3</math>을 <math>\alpha_1</math>로 보내고, <math>\alpha_2</math>와 <math>\alpha_4</math>는 그대로 주는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자. | |
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}</math> | ||
| − | + | '''방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의'''된다. | |
| − | < | + | 가령 위의 네 해는 <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math>와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다. |
| − | + | <math>\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1\alpha_4=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 임을 기억하자) | |
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| − | < | + | <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>라는 조건으로부터, <math>\{1,4\}</math>와 <math>\{2,3\}</math> 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다. |
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | 그러나 여기서 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 이므로) | ||
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| − | + | 결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다. | |
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| + | <math>\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math> 로 두면,<math>\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> 가 되어, 모든 원소가 <math>\sigma</math>로부터 얻어지게 된다. | ||
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| + | 즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, <math>\sigma</math>는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 [[순환군]]이 된다. | ||
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| − | + | 또다른 예를 하나 더 생각해 보자. | |
| − | < | + | <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math>의 네 해는 다음과 같이 주어진다. |
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| + | <math>\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math> | ||
| − | < | + | 이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다. |
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | 그런데 | ||
| − | + | <math>x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> | |
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| + | <math>z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | 로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다. | ||
| − | < | + | 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>와 <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math> 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다. |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5> |
| − | * [ | + | * [[추상대수학]]<br> |
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| + | * <math>S_6</math>는 항등원이 아닌 outer automorphism을 가짐<br> | ||
| + | ** 예외적인 경우<br> | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5> |
| − | * | + | * <br>[[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> |
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| − | * | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> |
| − | * | + | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= |
| − | * | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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| − | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;"> </h5> | |
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| − | + | 사전 형태의 자료 | |
| − | + | * [http://www.jstor.org/stable/2324961 Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6] | |
| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | |
| − | * http://www. | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group |
| − | * | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups |
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_groups | ||
| + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
| + | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | ||
2010년 1월 10일 (일) 15:25 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
- \(n!\) 개의 원소가 존재함
- 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림
presentation
- 생성원 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}\)
- relations
- \({\sigma_i}^2 = 1\)
- \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1\)
- \(\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\\)
- \({\sigma_i}^2 = 1\)
이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}\)에 정의되는 전단사함수를 말한다. \(\alpha_1\)을 \(\alpha_3\)으로 보내고, \(\alpha_3\)을 \(\alpha_1\)로 보내고, \(\alpha_2\)와 \(\alpha_4\)는 그대로 주는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}\)
방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의된다.
가령 위의 네 해는 \(\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1\), \(\alpha_1^2\alpha_3=1\)와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다.
\(\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\) 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, \(\alpha_1\alpha_4=1\) 임에 반하여, \(\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1\)이기 때문이다.(\(\alpha_i=\zeta^i\) 임을 기억하자)
\(\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1\)라는 조건으로부터, \(\{1,4\}\)와 \(\{2,3\}\) 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
그러나 여기서 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\)와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데, \(\alpha_1^2\alpha_3=1\) 임에 반하여, \(\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1\)이기 때문이다.(\(\alpha_i=\zeta^i\) 이므로)
결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\)는 함수이므로, \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}^2\)는 함수의 합성으로 이해할 수 있다.
\(\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) 로 두면,\(\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\), \(\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\), \(\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) 가 되어, 모든 원소가 \(\sigma\)로부터 얻어지게 된다.
즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, \(\sigma\)는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 순환군이 된다.
또다른 예를 하나 더 생각해 보자.
\(x^4 - 10x^2 + 1=0\)의 네 해는 다음과 같이 주어진다.
\(\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)
\(\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}\)
\(\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}\)
\(\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}\)
이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
그런데
\(x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
\(y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(y^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
\(z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다.
방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)와 \(x^4 - 10x^2 + 1=0\) 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다.
상위 주제
재미있는 사실
- \(S_6\)는 항등원이 아닌 outer automorphism을 가짐
- 예외적인 경우
- 예외적인 경우
역사
수학용어번역
사전 형태의 자료
- Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
- http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
- http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_groups
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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