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* n 변수의 다항식 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 이 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( [[대칭군 (symmetric group)]] )
 
* n 변수의 다항식 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 이 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( [[대칭군 (symmetric group)]] )
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* 다항식 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 이 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 [[교대다항식(alternating polynomial)|교대다항식]]이라 한다
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* 다항식 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 이 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transposition 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 [[교대다항식(alternating polynomial)|교대다항식]]이라 한다
  
 
 
 
 
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<h5>Jacobi-Trudy 항등식</h5>
 
<h5>Jacobi-Trudy 항등식</h5>
  
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* sequence \delta : n-1,n-2,\cdots, 0
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* <math>\rho : n-1,n-2,\cdots, 0</math>
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* \lambda : partition \lambda_1\ geq \lambda_2,\cdots, \lambda_n\geq 0<br><math>a_{\lambda+\delta}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})</math><br><math>t_{\lambda} = a_{\lambda+\delta}/a_{\delta} =\sum_{w\in S_{n} } \epsilon(w) h_{\lambda+\delta - w.\lambda}</math><br>
+
* <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math><br><math>a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})</math><br><math>t_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}} =\sum_{w\in S_{n} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5>The first Giambelli formula</h5>
 
<h5>The first Giambelli formula</h5>
  
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<math>t_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})</math>
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* <math>t_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})</math>
  
 
 
 
 

2012년 1월 24일 (화) 15:05 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • n 변수의 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( 대칭군 (symmetric group) )
  • 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transposition 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다

 

 

대칭다항식의 예
  • 세 변수의 경우
  • \(x_1+x_2+x_3\)
  • \(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\)
  • \(x_1 x_2 x_3\)

 

 

well-known bases
  • M : monomial symmetric functions
  • E :  elementary symmetric polynomials
  • H :  complete homogeneous symmetric polynomials
  • S : 슈르 다항식
  • algebraic independence result (Ruffini, around 1800)
  • power sums
    • A. Girard
    • Waring

 

 

 

반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)

코쉬 행렬과 행렬식

 

 

 

Jacobi-Trudy 항등식
  • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
  • \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
    \(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
    \(t_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}} =\sum_{w\in S_{n} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

 

 

The first Giambelli formula
  • \(t_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

 

Schur polynomials http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_polynomial

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트
  • J. Dieudonné, Schur functions and group representations , Young tableaux and Schur functors in algebra and geometry, Astéerisque, 87--88 , 7--19 (1981)

 

 

관련논문

 

 

관련도서
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