"실계수 대칭행렬의 대각화"의 두 판 사이의 차이

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** 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
 
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** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
 
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<math>P=\left( \begin{array}{ccc}  \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\  0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)</math> 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 <math>P^T=P^{-1}</math> 을 만족시킨다.
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<math>D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc}  7 & 0 & 0 \\  0 & 7 & 0 \\  0 & 0 & -2 \end{array} \right)</math>
  
 
 
 
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8C%80%EC%B9%AD%ED%96%89%EB%A0%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/대칭행렬]
 
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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2012년 8월 4일 (토) 11:48 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 직교대각화 가능하다

 

 

예

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) 

 

 

예

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)

 

 

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