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<h5>이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 
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* [[대칭행렬의 대각화|대칭행렬의 스펙트럼과 대각화]]
  
 
 
 
 
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<h5>개요</h5>
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<h5>spectral 정리</h5>
  
 
* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다<br>
 
* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다<br>
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** 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
 
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** 행렬 A는 직교대각화 가능하다
 
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<h5>실계수 이차형식의 분류</h5>
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* <math>n\times n</math> 대칭행렬 A로부터 이차형식 <math>Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}</math> 를 얻을 수 있다
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*  실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다<br>
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** 양의 정부호(positive definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})>0</math>가 성립
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** 음의 정부호(negative definite) 모든 <math>\mathbf{x}\neq 0</math>에 대하여 <math>Q(\mathbf{x})<0</math>가 성립
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** indefinite <math>Q(\mathbf{x})</math>가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
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* [[이차형식]]
  
 
 
 
 

2012년 8월 4일 (토) 11:54 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

spectral 정리
  • \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 직교대각화 가능하다

 

 

실계수 이차형식의 분류
  • \(n\times n\) 대칭행렬 A로부터 이차형식 \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}\) 를 얻을 수 있다
  • 실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
    • 양의 정부호(positive definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})>0\)가 성립
    • 음의 정부호(negative definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})<0\)가 성립
    • indefinite \(Q(\mathbf{x})\)가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
  • 이차형식

 

 

예

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) 

 

 

예

\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)

 

 

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