"더블감마함수와 반스(Barnes) G-함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “네이버(.*)]” 문자열을 “” 문자열로)
잔글 (찾아 바꾸기 – “네이버(.*)]” 문자열을 “” 문자열로)
(차이 없음)

2012년 11월 2일 (금) 12:08 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
  • 성질
    \(G(1)=1\)
    \(G(s+1) =\Gamma(s)G(s)\)
  • 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다
    \(G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!\)

 

 

근사식

\(\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)\)

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 \(A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots\)

 

 

special values

  • A는 Glaisher–Kinkelin 상수
    \(G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\)
    \(G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\) 또는 \(G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}\)

 

 

로그 삼각함수 적분과의 관계

\(\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}\)

\(\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}\)

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 


 

 


 

 

블로그

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=더블감마함수와_반스(Barnes)_G-함수&oldid=6892"