"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 13일 (수) 18:37 판

무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
데데킨트 합
자연수의 분할수(integer partitions) 의 연구에 중요한 역할

\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)

여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택

\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

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 <h5>개요</h5>
-<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math>
+*  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br>
+* [[데데킨트 합]]
+* [[자연수의 분할수(integer partitions)]] 의 연구에 중요한 역할
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 <h5>모듈라 성질</h5>
-<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)</math>
+<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math>
+여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택
+<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math>
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 <math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
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