"드람 코호몰로지"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 26일 (월) 04:23 판

드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
드람 정리
- 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
- (또는) 드람 코호몰로지와 싱귤러 코호몰로지는 동형이다
훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전

한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지
$H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}$
n=3 인 경우
$H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 - \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}$
역제곱 벡터장 항목 참조
n=2 인 경우
$H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 - \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}$
각원소 벡터장 항목 참조

$$ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV $$

$$ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) $$ 여기서 $H_{\Delta}^k(M)$는 space of harmonic forms

1931 드람
Hodge
- Hodge decomposition
  - graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
Delbeault
- cohomology of sheaves of holomorphic forms
Kodaira
- vanishing theorem
- analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
- embedding theorem
Leray
- sheaf cohomology using fine resolutions
Grothendieck
- sheaf cohomology in algebraic geometry
Deligne
- existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
미분형식
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

@@ 37번째 줄: / 37번째 줄: @@
 * M 이 compact oriented 리만 다양체 M$A^k(M)$에 대하여 다음과 같이 정의되는 내적이 존재한다
 $$
-\langle \phi, \psi \rangle=\int_{M}g($phi,\psi)dV
+\langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV
 $$
 * 라플라시안