"라플라스-벨트라미 연산자"의 두 판 사이의 차이

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<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
 
<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">구면좌표계의 경우</h5>
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* [[구면좌표계]]<br><math>\Delta f  = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)  + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)  + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math><br>
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<h5>구면 라플라시안</h5>
  
 
 
 
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">3차원 구면좌표계의 경우</h5>
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* [[구면좌표계]]<br><math>\Delta f  = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)  + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)  + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math><br>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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<h5>원기둥좌표계의 경우</h5>
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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* [[원기둥좌표계]]<br>
  
 
 
 
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
 
* http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplacian ]
 
* http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplacian ]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://dlmf.nist.gov/1.5
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
 
 
 
 

2011년 12월 4일 (일) 04:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  •  

 

 

제1기본형식을 이용한 표현
  • 리만다양체의 메트릭이 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
  • \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
  • 라플라시안
    \(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
  • 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
  • \(F=0\)인 경우
    \(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)

 

 

표준좌표계의 경우

\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)

 

 

극좌표계의 경우
  • 극좌표계
  • \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
    \(\sqrt{EG}=r\)
    \(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)

 

 

구면 라플라시안

 

 

 

3차원 구면좌표계의 경우
  • 구면좌표계
    \(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}\)

 

 

원기둥좌표계의 경우

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

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