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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [http://statphys.springnote.com/pages/7627859 락스 쌍 (Lax pair)]<br> | * [http://statphys.springnote.com/pages/7627859 락스 쌍 (Lax pair)]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법 | * 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법 | ||
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| − | ==기호 | + | ==기호== |
* 위치 변수 <math>q=(q_1,\cdots,q_N)</math><br> | * 위치 변수 <math>q=(q_1,\cdots,q_N)</math><br> | ||
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| − | ==락스 쌍 | + | ==락스 쌍== |
* 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다 | * 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다 | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">isospectral deformation | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">isospectral deformation== |
* L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t<br> | * L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t<br> | ||
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| − | ==예: 토다 격자 (toda lattice) | + | ==예: 토다 격자 (toda lattice)== |
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| − | ==예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) | + | ==예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)== |
* 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자<br> | * 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자<br> | ||
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| − | ==예 : 사인-고든 방정식 | + | ==예 : 사인-고든 방정식== |
* 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자<br><math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math><br> | * 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자<br><math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Lax pairs with spectral parameters | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Lax pairs with spectral parameters== |
* spectral curve<br><math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math><br> | * spectral curve<br><math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사== |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모== |
* [http://www.cns.gatech.edu/people/chandre/Articles/Lax-Pair.pdf Does the existence of a Lax pair imply integrability?]<br> | * [http://www.cns.gatech.edu/people/chandre/Articles/Lax-Pair.pdf Does the existence of a Lax pair imply integrability?]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">물리학용어번역 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">물리학용어번역== |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* <br> | * <br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">리뷰논문 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">리뷰논문== |
* <br> | * <br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문== |
* [http://dx.doi.org/10.1007/BF02102813 How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation] M. Q. Zhang, 1991<br> | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02102813 How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation] M. Q. Zhang, 1991<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서== |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그== |
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2012년 11월 1일 (목) 12:34 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
- spectral parameter
기호
- 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
- \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 운동방정식
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
락스 쌍
- 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
- 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
- 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
- 많은 보존량을 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다
\(\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\)
따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
isospectral deformation==
- L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
- \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
- Record their derivative by a matrix
\(v'(t)=B(t)v(t)\)
- Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\)
\(L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\)
\(L'(t)=[B(t),L(t)]\)
- So B(t) and L(t) are a Lax pair
예: 토다 격자 (toda lattice)
예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)
- 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
- \(L=\partial^2+u\)
- \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
- \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
- 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다
예 : 사인-고든 방정식
- 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자
\(U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\), \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\)
- 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\)
- 사인-고든 방정식
Lax pairs with spectral parameters==
- spectral curve
\(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\)
- 대수 곡선이 된다
- 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
- for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
- integrals of motion
\(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)
역사==
메모==
관련된 항목들==
물리학용어번역==
사전 형태의 자료==
리뷰논문==
-
관련논문==
관련도서==
블로그==
- 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
- spectral parameter
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
\(\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\)
따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
- L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
- \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
- Record their derivative by a matrix
\(v'(t)=B(t)v(t)\) - Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\)
\(L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\)
\(L'(t)=[B(t),L(t)]\) - So B(t) and L(t) are a Lax pair
예: 토다 격자 (toda lattice)
예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)
- 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
- \(L=\partial^2+u\)
- \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
- \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
- 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다
예 : 사인-고든 방정식
- 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자
\(U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\), \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\) - 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\)
- 사인-고든 방정식
Lax pairs with spectral parameters==
- spectral curve
\(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\)
- 대수 곡선이 된다
- 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
- for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
- integrals of motion
\(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)
\(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\)
\(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)