"랜덤워크(random walk)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
20번째 줄: 20번째 줄:
 
* [http://math.ucsd.edu/%7Eanistat/gamblers_ruin.html http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html]<br>
 
* [http://math.ucsd.edu/%7Eanistat/gamblers_ruin.html http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html]<br>
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin]<br>
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin]<br>
−
* <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임<br>
+
* 일정한 총량의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임<br>
 
*  일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복<br>
 
*  일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복<br>
 +
 +
 
  
 
 
 
 
27번째 줄: 29번째 줄:
 
(정리) 
 
(정리) 
  
−
한번의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두고, A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다.
+
A,B가 각각 <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다.
  
 
<math>p\neq \frac{1}{2}</math> 일 때, 
 
<math>p\neq \frac{1}{2}</math> 일 때, 
42번째 줄: 44번째 줄:
  
 
<math>P_A= \frac{{n_2}}{{n_1+n_2}}</math>
 
<math>P_A= \frac{{n_2}}{{n_1+n_2}}</math>
−
 
−
 
 
  
 
 
 
 
49번째 줄: 49번째 줄:
 
(증명)
 
(증명)
  
−
A,B가 가진돈을 합하여 <math>n_1+n_2</math>, 상수이다.
+
A,B가 가진돈을 합하여 <math>N=n_1+n_2</math>, 상수이다.
  
 
A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, '''파산할 확률'''을 <math>P_n</math>이라 두자.
 
A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, '''파산할 확률'''을 <math>P_n</math>이라 두자.
57번째 줄: 57번째 줄:
 
[[선형점화식]]이므로, 이차방정식 <math>px^2-x+q=0</math>의 해를 구하면, 1과 <math>q/p</math> 를 얻는다.
 
[[선형점화식]]이므로, 이차방정식 <math>px^2-x+q=0</math>의 해를 구하면, 1과 <math>q/p</math> 를 얻는다.
  
−
<math>p\neq \frac{1}{2}</math> 이면, <math>P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n</math> 의 꼴로 
+
<math>p\neq \frac{1}{2}</math> 인 경우는, 적당한 상수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n</math> 의 꼴로 쓸 수 있다. 
 +
 
 +
<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math> 을 이용하여, 상수 <math>\alpha,\beta</math>를 구할 수 있다. <math>P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}</math> 를 얻는다. 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">응용</h5>
 +
 
 +
*  A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자. <br>
 +
*  A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃기 쉽다. <br>
 +
 
 +
 
  
 
 
 
 

2010년 2월 12일 (금) 12:21 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 도박사의 파산(gambler's ruin)
  • 브라운 운동

 

 

도박사의 파산

 

 

(정리) 

A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다.

\(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때, 

\(P_A= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)

\(P_B= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)

 

\(p= \frac{1}{2}\)일 때, 

\(P_A= \frac[[:틀:N 1]][[:틀:N 1+n 2]]\)

\(P_A= \frac[[:틀:N 2]][[:틀:N 1+n 2]]\)

 

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).

선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.

\(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다. 

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다. \(P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\) 를 얻는다. 

 

 

응용
  • A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자. 
  • A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃기 쉽다. 

 

 

 

 

 

 

 

동전던지기
  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전   
  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  • nearest-neighbor random walk
  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=랜덤워크(random_walk)&oldid=8110"