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2012년 11월 2일 (금) 07:06 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 도박사의 파산(gambler's ruin)
- 브라운 운동
도박사의 파산
- http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin
- 일정한 총량의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
- 일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복
(정리)
A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서'A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p'라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.
\(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때,
\(P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(p= \frac{1}{2}\)일 때,
\(P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\)
\(P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\)
(증명)
A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.
A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.
점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).
선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.
(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.
\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다.
\(P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\) 를 얻는다.
(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.
\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.
\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다. ■
응용
- A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
- A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.
동전던지기
- 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
- 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
- nearest-neighbor random walk
- 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
- 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gambler+ruin
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
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