렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

간단한 소개

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• 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 Lemniscate 라 부름.
• lemniscate 의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐

\(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)

\(r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}\)

\(L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{1}{\cos^2 2\theta}}\,d\theta\)

\(=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\)

\(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\)

\(d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi\)

\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})\)

Moreover, 

\(x=\cos\phi\) gives

\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots\)

\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)

• \(\omega=2.62\cdots\) 를 가우스의 lemniscate 상수라 함

 

원주율과의 비교

• 가우스가 계산한 값은  원의 둘레의 길이와 lemniscate의 둘레의 길이의 비율
  \(\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots\)
  \(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots\)
  
• \(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots\) 가 얻어짐
• 한편\(AGM(a,b)\) 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.
  \(a_0=a\) ,\(b_0=b\)
  \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\)
  
• 가우스의 계산으로는 \(AGM(1,\sqrt{2})\)

 

 

타원적분을 통한 증명

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\)

• 란덴변환(Landen's transformation) 에서 얻어진 결과에서 

 \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

• 두 결과를 이용하면 

\(\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})\)

 

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

• 타원적분 참조

 

 

 

 

역사

• 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. (Pi-unleashed, 99p)
  

We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to \(\frac{\pi }{\omega}\) between 1 and \(\sqrt{2}\) we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.

• 수학사연표
  

 

 

 

상위 주제

• 타원적분, 타원함수, 타원곡선
  
  • 란덴변환(Landen's transformation)
    
  • 타원곡선
    
  • 타원적분
    
  • 타원함수
    
  • 페르마의 마지막 정리
    

 

 

관련된 다른 주제들

• AGM과 파이값의 계산
  

 

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판
  

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=Lemniscate
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^{1}+1/sqrt(1-x^4)+dx
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)
  

 

관련도서 및 추천도서

• Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
  
  • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=렘니스케이트
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

관련논문

• From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics
• From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work
  
  • R Sridharan
• The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals
  
  • AYOUB R
• 매쓰매티카 notebook (ver 6.0)
  
  • Lemiscate,_pi_and_AGM.nb