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* 로바체프스키 함수의 정의<br><math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt</math><br> | * 로바체프스키 함수의 정의<br><math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt</math><br> | ||
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한편, <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다. | 한편, <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다. | ||
| − | <math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C</math> 에서 | + | <math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C</math> 에서 기함수의 성질을 이용하면, <math>C=0</math>이 된다. |
2009년 11월 14일 (토) 06:15 판
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간단한 소개
- 로바체프스키 함수의 정의
\(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt\)
성질
\(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.
\(\Lambda(\theta)=n\sum_{k \pmod n}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
(증명)
\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)
를 얻는다.
\(n=2\) 일때,
\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)
\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)
\(\theta=0\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)
두 식으로부터
\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.
한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
- J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984).
- Hyperbolic geometry: The first 150 years
- John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
- Foundations of hyperbolic manifolds
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