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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 경우</h5>
 
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0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명할 수 있다.
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0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
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(증명)
  
 
 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
 
 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 실수부와 허수부</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 실수부와 허수부</h5>
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0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.
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(증명)
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<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 
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<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.
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<math>e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0</math>
  
 
 
 
 

2009년 9월 14일 (월) 05:09 판

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

 

 

지수함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

(증명)

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

 

 

지수함수의 실수부와 허수부

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

 

 

 

 

로그함수의 경우

위의 증명에서 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

 

 

사인함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\) 는 초월수이다.

\(\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 

\(\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\)

는 초월수이다. 

 

 

\(\pi\) 는 초월수이다

 


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