2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬

개요

• 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
• 2x2 행렬
  \(A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)\)에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각

$$ \left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.$$

• 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) 가 적당한 유리수 \(r_A\)에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제\[L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)\]

쌍대성

• 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
  
• \(L(x)+L(1-x)=2L(1)\)
  \(\log (1-x)=A\log x\)
  \(\log x=A^{-1}\log (1-x)\)
  

행렬의 예

• complete list of the form
  \( \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}\) only a+b = 2,1,1/2,0 allowed
  \( \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}\)
  
• complete list of the form
  \( \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
  \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
  
• M(3,5)
  \(\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\)
  
• M(3,4)
  \( \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\)\( \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)
  
• M(2,5)
  \( \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}\)
  
• M(6,7)
  \( \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}\)
  
• d=0 case (not positive definite)
  \( \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}\)
  \( \begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}\)
  

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=