"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
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<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. | ||
| − | <math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)} </math> | + | <math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} </math> |
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| + | 여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math> | ||
| − | <math>\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma</math> | + | <math>\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma</math>, <math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>, <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math> |
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<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> . | <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> . | ||
| − | + | [[감마함수]] 의 Digamma 함수 부분 참조. | |
| − | + | 따라서 다음값을 얻는다. | |
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| − | + | <math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi</math><br> | |
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2009년 7월 4일 (토) 19:53 판
간단한 소개
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\)
증명
- 감마함수의 성질
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\) - 리만제타함수의 함수방정식
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\) - 을 이용한다.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\) 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다.
\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} \)
여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
\(\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma\), \(\psi(1) = -\gamma\,\!\), \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) .
감마함수 의 Digamma 함수 부분 참조.
따라서 다음값을 얻는다.
\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\)
\(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\) 이므로,