"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5>증명에 앞서 알아야 할 사실들</h5>
 
<h5>증명에 앞서 알아야 할 사실들</h5>
  
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* 감마함수의 성질<br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math><br>
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* [[감마함수]]
 
*  리만제타함수의 함수방정식<br><math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math><br>
 
*  리만제타함수의 함수방정식<br><math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math><br>
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* 을 이용한다.
 
  
 
 
 
 
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<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. 
 
<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. 
  
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<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)}  </math> 
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<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)}  </math>
  
 
여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
 
여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
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<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> .
 
<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> .
  
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[[감마함수]] 의 Digamma 함수 부분 참조.
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[[감마함수]] 의 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma]] 함수 부분 참조.
  
 
 
 
 

2009년 9월 7일 (월) 17:03 판

간단한 소개
  • 모든 자연수의 곱은 물론 발산함.
  • 이것은 다만 리만제타함수를 이용한 물리(?)적인 답변임.
  • \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
  • \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
  • 여기서 (수학적으로는 말이 안되나 형식적으로)
    \(\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\)
    \(\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\)
  • 즉 모든 자연수의 곱은 (!?) \(\sqrt{2\pi}\)

 

증명에 앞서 알아야 할 사실들
  • 감마함수
  • 리만제타함수의 함수방정식
    \(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)

 

증명

\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)

 

\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.

 

\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\) 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. 

\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} \)

여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

\(\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma\), \(\psi(1) = -\gamma\,\!\), \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

 

\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) .

감마함수 의 Digamma 함수 부분 참조.

 

따라서 다음값을 얻는다.

\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\)

\(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)

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