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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | * http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | ||
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2009년 11월 1일 (일) 04:10 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 모든 자연수의 곱은 물론 발산함.
- 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제.
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
- \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
- 여기서 (수학적으로는 말이 안되나 형식적으로)
\(\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\)
\(\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\) - 즉 모든 자연수의 곱은 (!?) \(\sqrt{2\pi}\)
증명에 앞서 알아야 할 사실들
- 감마함수
- 리만제타함수의 함수방정식
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
증명
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\) 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다.
\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} \)
여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
\(\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma\), \(\psi(1) = -\gamma\,\!\), \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)[[감마함수|]]
이에 대해서는 감마함수 의 Digamma 함수 부분 참조.
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) .
따라서 다음값을 얻는다.
\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\)
\(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)
상위 주제
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
- http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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