"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

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<math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}</math> 는 초월수이다. 
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<math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}</math> 는 초월수이다.
  
 
 
 
 
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* The values of<math>\alpha</math> and <math>\beta</math>are not restricted to [http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number real numbers]; all [http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number complex numbers] are allowed.
 
 
* In general, <math>\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}</math> is [http://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function multivalued], where "log" stands for the [http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm complex logarithm]. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
 
* In general, <math>\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}</math> is [http://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function multivalued], where "log" stands for the [http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm complex logarithm]. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
 
* An equivalent formulation of the theorem is the following: if<math>\alpha</math>and <math>\gamma</math> are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of<math>\alpha</math>, then<math>(\log \gamma)/(\log \alpha)</math>is either rational or transcendental.
 
* An equivalent formulation of the theorem is the following: if<math>\alpha</math>and <math>\gamma</math> are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of<math>\alpha</math>, then<math>(\log \gamma)/(\log \alpha)</math>is either rational or transcendental.
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
  
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*   <br>[http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X Transcendental Number Theory]<br>
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**  Alan Baker<br>
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**  Cambridge University Press<br>
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* [http://www.amazon.com/Making-Transcendence-Transparent-intuitive-transcendental/dp/0387214445/ref=pd_sim_b_7 Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory]<br>
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**  Edward B. Burger, Robert Tubbs<br>
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**  Springer<br>
 
*  도서내검색<br>
 
*  도서내검색<br>
 
** http://books.google.com/books?q=
 
** http://books.google.com/books?q=

2009년 6월 26일 (금) 12:29 판

간단한 소개
  • 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
    • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
      \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
    • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
  • 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

 

겔퐁드-슈나이더 정리

(정리)

\(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}\) 는 초월수이다.

 

Comments

  • In general, \(\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}\) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement.
  • An equivalent formulation of the theorem is the following: if\(\alpha\)and \(\gamma\) are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of\(\alpha\), then\((\log \gamma)/(\log \alpha)\)is either rational or transcendental.
  • If the restriction that\(\beta\)be algebraic is removed, the statement does not remain true in general (choose \(\alpha=3\) and \(\beta=\log 2/\log 3\), which is transcendental, then \(\alpha^{\beta}=2\) is algebraic). A characterization of the values for\(\alpha\) and \(\beta\)which yield a transcendental \(\alpha^{\beta}\) is not known.

 

(wikipedia 의 Gelfond–Schneider theorem 페이지에서)

 

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