베버(Weber) 모듈라 함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 15일 (목) 07:58 판
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간단한 소개

 

\(f(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(f_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

여기서  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수

 

 

 

q-초기하급수와의 관계
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
    \(z=q^{-1/2}\) 인 경우
    \(\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{-1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-2)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \)
    \(z=1\) 인 경우
    \(\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
     
  •  

\(f_2(\tau)=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\)

\(f_1(\tau)=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

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