블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 9월 14일 (수) 14:34 판
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간단한 소개
  • Dilogarithm
    \(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)
  • Bloch-Wigner dilogarithm
    \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\)
  • 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조
  • real analytic on \(\mathbb{C}\) except at the two point 0 and 1. 

 

 

항등식

\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)

  • Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
    \(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\),  \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)

 

 

five-term relation

\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)

 

 

데데킨트 제타함수와의 관계
  • \(s=2\) 에서의 값
    복소이차수체의 데데킨트 제타함수
    \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
    \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function
    • Don Zagier, Math-Annalen, pages 612–624, 1990.

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

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