스핀과 파울리의 배타원리

\(SU(2)\)의 표현론
half of highest weight of the module = spin
- Casimir operator can also detect this number.
spin \(1/2\) is the most important case since they are the matter particles
this is why we have half-integral spin although those representations have integral highest weights
스핀이 0인 입자의 스피너(성분이 하나)는 유니타리 변환에 대해 불변이다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 스칼라 입자라 부른다.
스핀이 1인 입자의 스피너(성분이 세개)는 유니타리 변환에 대해 벡터처럼 변환한다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 벡터 입자라 부른다. (ex. intermediate vector bosons)
스핀이 1/2 인 시스템은 SU(2) 군의 2차원 표현론과 관계있다.
스핀이 1 인 시스템은 SU(2) 군의 3차원 표현론과 관계있다.
스핀이 3/2 인 시스템은 SU(2) 군의 4차원 표현론과 관계있다.

Spin(3)와 파울리 행렬
\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
raising and lowering 연산자
\(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
\(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
\([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

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