5항 관계식 (5-term relation)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 7월 21일 (목) 11:51 판
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개요

 

 

 로저스 다이로그 함수
  • 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) 의 정의
    \(x\in (0,1)\)에서 로저스 dilogarithm을 다음과 같이 정의
    \(L(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\)

 

 

 5항 관계식
  • 로저스 다이로그 함수 \(L(x)\)에 대하여 다음이 성립한다
    \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때,
    \(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}\)
  • \(1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}\), \(x_0=x\), \(x_2=y\)로 정의되는 점화식은 주기가 5인 수열이 된다
    \(x_0=x, x_1=1-xy, x_2=y, x_3=\frac{1-y}{1-xy}, x_4=\frac{1-x}{1-xy}\)
  • 집합 \(\{0,1,\infty,y,xy\}\) 에서 4개의 원소를 뽑아 얻어지는 교차비(cross ratio)

 

 

 q-이항정리를 통한 증명
  • [GM1997]참고
  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}b^n=\frac{(ab;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\)
  • z를 \((1-az)b=1-z\) 의 해로 정의, 즉
    \(z=\frac{1-b}{1-ab}\)
  • \(q=e^{-t}\)이고 t가 0으로 갈 때, 양변의 근사식은 다음과 같다
    좌변  \(\frac{\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}{t}\)
    우변 \(\frac{\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}{t}\)
  • 양변의 근사식을 비교하여 5항 관계식을 얻는다
    \(\operatorname{Li}_2(az)-\operatorname{Li}_2(a)-\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1)-\log z\log b}=\operatorname{Li}_2(b)-\operatorname{Li}_2(ab)}\)

 

 

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