차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)

간단한 소개

• 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
• 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
  
  • 계차수열 ~ 미분
  • 부분합 ~ 적분

 

계차수열

F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.

\(\Delta F=f\), 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)

미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를  로 표현하자.

 

 

수열의 합

수열 f 에 대하여

\(\sum_a^{b-1}f(n)\)

는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다

 

Calculus of Finite Dfference의 기본정리

두 수열 F, f 가 \(\Delta F=f\)를 만족하면,

\(\sum_a^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)

가 성립한다.

 

하위주제들

• qpfm
• 오일러-맥클로린 공식
• 거듭제곱의 합을 구하는 공식

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• Sum of powers
• 생성함수

 

표준적인 도서 및 추천도서

• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/finite_calculus

 

참고할만한 자료

• The Finite Calculus
  
  • From the book 'A Primer of Analytic Number Theory' 1.2
• Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
  
  • Lee Zia
  • The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

• Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
  
  • Gilbert Strang
  • The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27

• An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences
  
  • Saul Epsteen
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
• Telescoping Sums and the Summation of Sequences
  
  • G. Baley Price
  • The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
• The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
  
  • Vito Lampret
  • Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
• An Euler Summation Formula
  
  • Irwin Roman
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21