페론-프로베니우스 정리 (Perron-Frobenius theorem)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 5월 31일 (목) 05:02 판
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개요
  • A = (aij) 가 n × n 양행렬, 즉  1 ≤ i, j ≤ n  에 대하여 aij > 0 가 성립한다고 가정하자
  • 다음이 성립한다
    • A의 고유값 \(r>0\) 이 존재하여, 다른 고유값 λ에 대하여 부등식 |λ| < r가 성립한다.
    • r 에 대응되는 고유벡터공간은 1차원이다
    • r에 대응되는 모든 성분이 양수인 고유벡터 v = (v1,…,vn) 가 존재한다. 즉 A v = r v,  1 ≤ i ≤ n 에 대하여 vi > 0 이 성립하도록 하는 v를 찾을수 있다

 

예

카르탄 행렬 \(\mathcal{C}(A_5)\) 의 역행렬은

\(\left( \begin{array}{ccccc} \frac{5}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & \frac{5}{6} \end{array} \right)\)로 양행렬이다.

이 행렬의 고유값은 \(2+\sqrt{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},2-\sqrt{3}\)로 주어진다.

벡터 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ 2 \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right)\) 는 고유값이 \(2+\sqrt{3}\)인 고유벡터이다.

 

 

 

브라우어 부동점 정리의 응용

\(A\geq 0\) : non-negative 행렬

\(\sigma(A)\) : A 의 spectrum, 즉 A의 고유값의 집합

\(\rho(A)\) : A 의 spectral radius

\(\|\mathbf{x}\|_{1}\) : L^1-norm of x, 즉 \(\mathbf{x}=(x_1,\cdots, x_k)\) 이면, \(\|\mathbf{x}\|_{1}=|x_1|+\cdots+|x_k|\)

(정리)

\(\rho(A)\) 는 A의 고유값이며, \(\mathbf{x}\geq 0\) 인 고유벡터가 존재한다.

(증명)

\(K =\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n|\mathbf{x}\geq 0,\|\mathbf{x}\|_{1}=1, A\mathbf{x}\geq \rho(A)\mathbf{x}\}\) 라 두자.

\(\lambda\) 를 \(|\lambda|=\rho(A)\) 를 만족시키는 A의 고유값이라 하고, \(\mathbf{v}\) 를 대응되는 고유벡터라 두자.

\(|\mathbf{v}|\in K\) 이므로, 

 

 

 

 

 

 

 

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