포락선(envelope)과 curve stitching

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개요

"one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선
이러한 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.
Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림

envelope

곡선들이 파라메터 t 에 의해 \(F(x,y,t)=0\) 로 주어진다고 가정하자.
envelope은 다음 연립방정식을 풀어 얻을 수 있다.
\(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

(증명)

포락선이 \(\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\) 로 매개화되었다고 하자. \(F(x(t),y(t),t)=0\)가 성립한다.

주어진 \(t=t_0\)에 대하여, 포락선의 점은 \(\mathbf{r}'(t_0)=(x(t_0),y(t_0))\) 로 주어진다.

한편 점 \((x(t_0),y(t_0))\)에서, family의 곡선 \(F(x,y,t_0)=0\)에 대하여 \(\mathbf{n}(t_0)=\langle F_{x}(x(t_0),y(t_0),t_0),F_{y}(x(t_0),y(t_0),t_0) \rangle\)는 수직인 벡터가 된다.

따라서 \(\mathbf{r}'(t_0)=\langle x'(t_0),y'(t_0)\rangle\) 에 대하여 \(\mathbf{n}(t_0)\cdot \mathbf{r}'(t_0)=F_{x}(x(t_0),y(t_0),t_0)x'(t_0)+F_{y}(x(t_0),y(t_0),t_0)y'(t_0)=0\)이 성립한다.

\(F(x(t),y(t),t)=0\) 의 양변을 t로 미분하면,

\(F_{x}(x(t_0),y(t_0),t_0)x'(t_0)+F_{y}(x(t_0),y(t_0),t_0)y'(t_0)+F_t(x(t_0),y(t_0),t_0)=0\) 이므로, \(F_t(x(t_0),y(t_0),t_0)=0\)가 성립한다.

임의의 \(t=t_0\)에 대하여 성립하므로, 포락선의 ㅁ

\(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

예1

파라메터 t에 대하여 다음과 같은 직선들을 생각하자
\(\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1\)

[/pages/9431928/attachments/5587508 parabola1.gif]

위에선 \(t=1,\cdots, 9\) 에 대한 그림을 그렸다
그림을 보면, 이 직선들에 접하는 곡선이 나타나는 것을 관찰할 수 있다.
포락선을 구하기 위해 위에서 언급한 결과를 이용하자
\(F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x\)
\(\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10\)
따라서 envelope은 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.
\(\left\{ \begin{array}{c} t^2 + t(y-x-10) + 10x=0 \\ 2t+ y-x-10=0 \end{array} \right.\)
이로부터 \(x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0\) 를 얻는다.
이는 이차곡선(원뿔곡선) 으로 판별식 \(\Delta=b^2-4ac=4-4=0\) 인, 포물선이 된다.
[/pages/9431928/attachments/5587494 parabola2.gif]

예2: 어떤 타원들의 envelope

파라메터 t에 대하여 다음과 같은 타원들이 주어진다고 하자
\(\frac{x^2}{t^2}+\frac{y^2}{(1-t)^2}=1\)
\(F(x,y,t)=(t-1)^2 (t-x) (t+x)-t^2 y^2\)
\(F_{t}(x,y,t)=-2 \left(2 t^3-3 t^2-t x^2-t y^2+t+x^2\right)\)
\(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\) 으로부터 다음의 두 관계식을 얻을 수 있다
\(\left\{ \begin{array}{c} y^2=(1-t)^3 \\ x^2=t^3 \end{array}\)
t를 소거하면 \(x^{2/3}+y^{2/3}=1\) 를 얻는다.
이는 애스트로이드 (astroid) 가 된다