영거리 과정 - 분해된 정상상태

L개의 자리로 이루어진 1차원 격자 위에 N개의 입자가 아무렇게나 놓여 있다고 합시다. 입자의 밀도 ρ는 N / L이겠죠. 각 입자는 일정한 비율로 오른쪽 자리로 뛰는데(hop) 그 비율은 원래 있던 자리에 있었던 입자의 개수에만 의존한다고 합시다. 이걸 영거리 과정(zero range process; ZRP)이라고 합니다. 격자가 아니라 일반적인 그래프 위에서도 정의될 수 있고, 오른쪽 자리로만 뛰는 게 아니라 연결된 모든 자리로 뛸 수도 있는데 여기서는 생각하지 않겠습니다. 이름이 '영거리'인 이유는 거리가 0인 입자들(즉 같은 자리에 있는 입자들)끼리만 상호작용을 하기 때문입니다.

'영거리'이기 때문에 수학적으로 정확하게 풀 수 있다는 게 이 모형의 장점입니다. 이제 수식을 볼까요. 2005년에 <저널 오브 피직스 에이>에 실린 에반스(M.R. Evans)와 해니(T. Hanney)의 리뷰 논문을 참고했습니다. N개의 입자가 L개의 자리에 분포해 있을 때, 각 자리에 몇 개의 입자가 있는지를 나열하면 그 시스템에 대한 모든 정보가 담겨지겠죠. 이 상태를 배열(configuration)이라고도 합니다. l번째 자리에 n_l개의 입자가 있다면,

\(\{n_l\}=n_1,n_2,\cdots,n_L\)

으로 나타냅니다. 시스템이 이 배열로 있을 확률을 다음처럼 분해된 정상상태(factorized steady state; FSS)로 써봅시다. 여기서는 충분히 시간이 지나서 배열의 확률분포가 더이상 변하지 않는 경우만 생각하려 하므로 정상상태만 갖고 얘기하겠습니다.

\(P(\{n_l\})=Z_{L,N}^{-1}\prod_{l=1}^L f(n_l),\ Z_{L,N}=\sum_{\{n_l\}}\prod_{l=1}^L f(n_l)\delta\left(\sum_{l=1}^Ln_l-N\right)\)

분해되었다는 건 각 자리에 관한 정보들이 서로 영향을 끼치지 않는다는 말이고 그래서 더욱 쉽게 문제를 풀 수 있다는 말입니다. 그런데 아무런 말도 없이 갑자기 인수분해가 가능하다고 하는지 의아해할 수도 있고 아닐 수도 있습니다. '영거리' 과정이라는 말에 이미 분해가 가능하다는 뜻이 포함되어 있다고 한다면 의아해할 필요가 없지만, '영거리'라고 하더라도 입자들의 이동에 의해 모종의 상관관계가 나타나서 위의 확률이 좀더 복잡한 모양이 될 수도 있다고 생각했다면 의아해할 수는 있겠지요. 그리고 보면 아시겠지만 위의 Z는 분배함수에 해당합니다.

위에서 함수 f(n)은 어떤 자리에 n개의 입자가 있을 확률(p(n))에 비례하는 어떤 양입니다.

\(f(n)=\prod_{i=1}^n u(i)^{-1}\textrm{ for } n>0,\ f(0)=1\)

여기서 u는 뜀 비율(hop rate; 제멋대로 번역입니다;;)이라고 합니다. 시스템의 확률을 이런 식으로 정의해도 문제 없다는 걸 이제 얘기하려고 합니다.

하나의 배열에서 다른 배열로 전이할 비율인 전이율(transition rate)이 u로 주어지므로, 이를 이용해서 으뜸 방정식을 쓰면, ZRP에 관한 모든 정보가 담겨 있는 방정식이 얻어지겠죠. 하지만 앞서 말한대로 정상상태만 관심이 있으므로 확률의 시간 미분항(아래 식의 좌변에 있어야 하는)을 0으로 놓겠습니다.

\(0=\sum_{l=1}^L\left[u(n_{l-1}+1)P(\cdots,n_{l-1}+1,n_l-1,\cdots)-u(n_l)P(\{n_l\})\right]\)

앞에서 가정한 FSS를 이 식에 넣어서 정리해줍니다.

\(u(n_{l-1}+1)\frac{f(n_{l-1}+1)}{f(n_{l-1})}=u(n_l)\frac{f(n_l)}{f(n_l-1)}\)

좌변은 n_l-1만의 함수이고, 우변은 n_l만의 함수인데, 양변이 같다고 하면 그건 상수여야 하겠죠. 그 값을 1이라고 하고 우변을 다시 씁니다.

\(f(n_l)=\frac{f(n_l-1)}{u(n_l)}\)

우변의 f에 이 식을 똑같이 계속 적용하면 앞서했던 가정(이 글의 세번째 식)이 얻어집니다. 이건 모든 영거리 과정에 관한 일반론인데 구체적인 모형의 세부사항은 함수 u에 담겨집니다.

이제, 어떤 자리에 n개의 입자가 놓여있을 확률 p(n)을 구해보겠습니다.

\(p(n)=\sum_{n_2,\cdots,n_L}P(n,n_2,\cdots,n_L)\delta\left(\sum_{l=2}^Ln_l-(N-n)\right)\)

여기서도 P를 분해하면;; n에 관한 것만 빼고 보면 나머지는 L-1개의 자리에 N-n개의 입자가 분포해있는 모형이 됩니다.

\(p(n)=f(n)\frac{Z_{L-1,N-n}}{Z_{L,N}}\)

이 식의 양변을 n에 대해 더해주면 좌변은 1이므로, 다음과 같은 관계식을 얻습니다.

\(Z_{L,N}=\sum_{n=0}^N f(n)Z_{L-1,N-n}\)

마지막으로 입자의 흐름(current)에 해당하는 평균 뜀 비율(mean hop rate)을 구합니다.

\(\langle u(n)\rangle =Z_{L,N}^{-1}\sum_{\{n_l\}}u(n)\prod_{l=1}^L f(n_l)\delta\left(\sum_{l=1}^Ln_l-N\right)=\frac{Z_{L,N-1}}{Z_{L,N}}\)

그런데 마지막 결과가 정확한 건지 모르겠는데요, n_l 중에 n과 같은 놈이 있을 때에만 성립하는 것 같고, 또 그렇다고 해도 델타 함수의 인수가 그냥 바뀔 수 있는지도 모르겠네요. 그렇지만 결과는 저런 모양이어야 한다는 건 직관적으로 옳아 보입니다. 그런데 이 결과는 '오른쪽으로만 뛴다'는 조건이 없을 때에도 일반적으로 성립하는데요, 다시 말해서 흐름이 없어도 평균 뜀 비율은 0보다 큰 값을 가질 수 있습니다. (그래서 어쩌라는 걸까요?;;;)

정리하면, 상태에 관한 확률분포는 P({n})로 완전히 기술되며, 한 상태에서 다른 상태로의 전이에 관한 정보는 u에 모두 포함되어 있습니다. 이 u가 n만의 함수라면 확률분포는 분해될 수 있고 이로 인해 분배함수를 정확한 형태로 풀어낼 수 있습니다. 물론 특정한 u에 대해 분배함수를 구해서 필요한 물리량들을 얻는 건 또다른 문제겠죠. 여기까지 하겠습니다.