영거리 과정 - 응집전이

영거리 과정(zero range process; ZRP)에 대한 이전 글들을 참고하세요. 서론은 빼고 일단 가봅시다.

큰 바름틀 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\(Z_L(z)=[F(z)]^L,\ F(z)=\sum_{m=0}^\infty z^mf(m)\)

이걸 구해야 이로부터 원하는 양들을 얻어낼 수 있는데요, 위의 F를 보면 이게 수렴하는지 아닌지부터 따져봐야 합니다. 이러한 거듭제곱 급수가 어떤 z에서는 수렴하다가도 다른 z에서는 수렴하지 않을 수 있는데 이를 나누는 값을 수렴반지름(radius of convergence)이라 합니다. 수렴반지름이 무한대라면 모든 z에 대해 F는 수렴하는 거고요. F의 수렴반지름을 β라 합시다. 입자의 밀도는 다음과 같습니다.

\(\rho=z\frac{F'(z)}{F(z)}\)

밀도는 z의 증가함수인데 (미분해보면 압니다) z=β에서 최대값을 가집니다.

\(\rho_c=\beta\frac{F'(\beta)}{F(\beta)}\)

그런데 이 ρ_c가 무한하다면 임의의 z에 대해 ρ가 존재하고요. 만일 ρ_c가 유한하다면 이보다 더 큰 밀도에서 위의 식들을 이용할 수 없게 됩니다. 여기서 '응집(condensation)'이 나타난다고 하네요.