영거리 과정 - 이웃 상호작용

이번에는 독일 브레멘의 마이어-오르트만(H. Meyer-Ortmanns) 교수와 라이프찌히의 얀케(W. Janke) 교수 그룹의 공동연구 결과로 나온 아카이브 논문(arXiv:0907.4148v1)을 참고했습니다. 표기가 조금 다른데, 그냥 다른대로 쓰겠습니다;;; 지금까지 영거리 과정이 '영거리'였던 이유는 입자들이 같은 자리(site)에 있을 때에만 상호작용했기 때문입니다. 여기서는 한 자리와 그에 이웃한 자리에 있는 입자들 사이의 상호작용까지 고려하면 어떻게 될까를 다룹니다. 보통 이웃한 자리의 상호작용을 한곳 상호작용(local interaction)이라 부르므로 영거리 상호작용을 극-한곳 상호작용(ultralocal interaction)이라 부릅니다. 역시 번역은 제멋대로;;; 또한 더이상 '영거리 과정'이 아니네요.

이번에는 좀 알기 쉬운 예를 들어 정상상태를 구해보겠습니다. 단 4개의 자리로 이루어진 시스템을 생각합니다. 1번 자리의 입자는 2번 자리로만 움직이고, 2번 자리의 입자는 3번 자리로만, 3번은 4번으로, 4번은 1번으로 돌고도는 시스템입니다. i번째 자리에 m_i개 입자가 있다고 합시다. 그럼 시스템이 어떤 상태 {m₁,m₂,m₃,m₄}에 있을 확률을 편의상 P(1234)라고 합시다;;; 1번 자리에 있던 입자가 2번으로 뛸 비율은 2번 자리의 입자 개수뿐만 아니라 4번 자리의 입자 개수에도 의존하는 걸 생각합니다. 이걸 u(m₁|m₄,m₂)로 쓰는데 편의상;; u(1|42)라고 하겠습니다. 그럼 으뜸방정식의 정상상태 조건은 다음처럼 나옵니다.

\(&P(1^+2^-34)u(1^+|42^-)+P(12^+3^-4)u(2^+|13^-)\\ &+P(123^+4^-)u(3^+|24^-)+P(1^-234^+)u(4^+|31^-)\\ &=P(1234)[u(1|42)+u(2|13)+u(3|24)+u(4|31)]\)

1⁺는 m₁+1을 뜻하며, 1^-는 m₁-1을 뜻합니다. 막상 식을 쓰고나니 이게 뭔가 싶군요. '편의상' 쓰다보니;;; 이렇게 써놓으면 손으로 수식 전개할 때 편해서 종종 이럽니다. 영거리 과정에서는 정상상태가 완전히 분해된다(factorized)고 했죠. 여기서는 이웃 사이의 상호작용이 있으므로 아래처럼 '짝'으로 분해됩니다. 그래서 이걸 '짝분해된 정상상태(pair-factorized steady state; PFSS)'라 부르네요.

\(P(1234)=g(12)g(23)g(34)g(41)\)

이러한 가정도 자연스러운데요, 이웃하고만 상호작용하니까 이웃끼리 묶어서 분해할 수 있겠죠. 이걸 위의 정상상태 조건에 넣고요, 좌변의 항 하나에 우변의 항 하나를 같다고 합니다. 좌변의 첫번째 항과 우변의 두번째 항이 같다고 합시다.

\(g(1^+2^-)g(2^-3)g(41^+)u(1^+|42^-)=g(12)g(23)g(41)u(2|13)\)

정리하면,

\(\frac{u(1^+|42^-)g(1^+2^-)g(41^+)}{g(12^-)g(41)}=\frac{u(2|13)g(12)g(23)}{g(12^-)g(2^-3)}\)

원래 앞의 식에 없었던 g(12^-)를 양변의 분모에 더 넣었습니다. 이제 좌변은 1,2,4만의 함수고 우변은 1,2,3만의 함수죠. 변수가 다른데 양변이 같으므로