거듭제곱 분포의 불균형과 시스템 크기의 관계

N개의 값들이 있다고 합시다. 이 각 값을 w라 부릅니다. 편의상 N을 시스템 크기라 불렀으나 이름이 중요한 건 아니고요. 이 값들이 거듭제곱 분포를 따른다고 합시다.

\(P(w)\sim w^{-\alpha}\)

불균형(disparity)은 다음 왼쪽처럼 정의됩니다. 그런데 잘 보면 그 다음 식처럼 쓸 수 있고, 이건 분산과 직접 연관되는 양이죠.

\(Y=\sum_{i=1}^N \left[\frac{w_i}{\sum_j w_j}\right]^2 = \frac{1}{N}\frac{\langle w^2\rangle}{\langle w\rangle^2}\)

나이브하게 이