타원 모듈라 j-함수의 singular moduli

개요

$ j(\sqrt{-1})=1728=12^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2})=0$

$j(\frac {-1+\sqrt{-7}}{2})=-3375=-15^3$

$ j(\sqrt{-2})=8000=20^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-11}}{2})=-32768=-32^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-19}}{2})=-884736=-96^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-43}} {2})=-884736000=-960^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-67}} {2})=-147197952000=-5280^3$

$ j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3$

$ j(\sqrt{-3})=54000=2(30)^3$

$ j(\sqrt{-4})=287496=(66)^3$

$ j(\sqrt{-7})=16581375=(255)^3$

$j(\frac {-1+3\sqrt{-3}}{2})=-12288000=-3(160)^3$

$ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3$

$j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3$

$d_1, d_ 2$가 서로 다른 두 복소이차수체 $K_1, K_2$의 판별식이라 하자.
$J(d_ 1,d_ 2)$를 $\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}$ 로 정의하자. 여기서 $\alpha_1, \alpha_2$ 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives
(정리)[Gross-Zagier] \[J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}\]