Q-이항정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 7일 (월) 19:07 판
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개요
  • 이항정리 - 이항급수의 초기하급수 표현
    \((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(1)_n}{n!(1)_n}z^n=\,_2F_1(a,1;1;z)\)
  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
    Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)
    \(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)

 

q-이항정리

 

\(\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r\)

 

\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

 

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