수열의 오일러 변환

개요

• 두 수열 $\{a_1,a_2,\cdots \}$, $\{b_1,b_2,\cdots \}$ 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함

$$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\, $$

• 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다

$$ 1 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\, $$

• 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함

예

• 로저스-라마누잔 항등식

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots $$ 에서 $a_n$은 $1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열

• 가우스의 항등식

$$ \sum_{m \geq 0}(-1)^m(2m+1)q^{m(m+1)/2}=(q;q)^3 $$ 에서 $a_n$은 $-3,-3,-3,\cdots$로 주어지는 상수열

• 분할수가 만족시키는 합동식

$$\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots$$ 에서 $b_n=p(5n+4)/5$로 두면, $a_n$은 $6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbVBnbmJEcHFlNW8/edit

사전 형태의 자료

• http://oeis.org/wiki/Euler_transform