아이젠슈타인 정수
개요
- 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
- $K$의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)은 다음과 같다
$$ \mathcal{O}_K=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
- $\mathcal{O}_K$의 원소를 아이젠슈타인 정수라 부른다
- 이차형식 x^2+xy+y^2의 공부에 자연스럽게 등장
- 3차 상호법칙의 무대를 제공
소 아이디얼 (prime ideal)
- 단위원 $\{-\omega -1,-1,-\omega ,\omega ,1,\omega +1\}$
- $(3)=(1-\omega)^2$
- $p\equiv 1\pmod 3$이면, $p=x^2-x y+y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하며, $(p)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)$
- $p\equiv 2\pmod 3$이면, $(p)$는 소 아이디얼
- 아래 표에서 $\{x,y\}$는 $p=x^2-x y+y^2$의 정수해
$$ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^2+x+1 \pmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 3 & 0 & (x+2)^2 & \text{x} \\ 5 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 7 & 1 & (x+3) (x+5) & \{1,3\} \\ 11 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 13 & 1 & (x+4) (x+10) & \{1,-3\} \\ 17 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 19 & 1 & (x+8) (x+12) & \{2,-3\} \\ 23 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 29 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 31 & 1 & (x+6) (x+26) & \{1,6\} \\ 37 & 1 & (x+11) (x+27) & \{4,-3\} \\ 41 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 43 & 1 & (x+7) (x+37) & \{1,-6\} \\ 47 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 53 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 59 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 61 & 1 & (x+14) (x+48) & \{4,9\} \\ 67 & 1 & (x+30) (x+38) & \{2,9\} \\ 71 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \end{array} $$
테이블
- 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
- $\pi$는 소 아이디얼의 생성원, $N(\pi)$는 norm
\begin{array}{c|c} \pi & N(\pi) \\ \hline 2 & 4 \\ 1-\omega & 3 \\ 5 & 25 \\ 1+3 \omega & 7 \\ 2+3 \omega & 7 \\ 11 & 121 \\ 1-3 \omega & 13 \\ 4+3 \omega & 13 \\ 17 & 289 \\ 2-3 \omega & 19 \\ 5+3 \omega & 19 \\ 23 & 529 \\ 29 & 841 \\ 1+6 \omega & 31 \\ 5+6 \omega & 31 \\ 4-3 \omega & 37 \\ 7+3 \omega & 37 \\ 41 & 1681 \\ 1-6 \omega & 43 \\ 7+6 \omega & 43 \\ 47 & 2209 \end{array}
메모
- $\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3$을 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
- 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- prime - 대한수학회 수학용어집
- prime ideal 소 아이디얼