리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 8차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$

$$ \mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \} $$

리대수

• 리대수의 기저

$$ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline \end{array} $$

• 세르 관계식 (Serre relations)
• $A_2$ 카르탄 행렬

\[A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

• $A_2$ 루트 시스템

\[\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_1-\alpha_2\}\]

• \(A_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
  • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
  • \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=(1,0,-1)\)
• weights
  • \(\rho=(1,0,-1)\)
  • \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
  • \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{2} (a+1) (b+1) (a+b+2) $$

weight diagram

• 아래의 그림에서 빨간색 원은 highest weight, 숫자는 각 weight 공간의 차원을 의미

예1

• fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
• 3차원 표현

예2

• adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_2$
• 8차원 표현

예3

• highest weight이 $3\omega_1+2\omega_2$로 주어진 기약표현
• 42차원 표현

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRDFqeC1IRE45aXc/edit?pli=1