코스트카 수 (Kostka number)

개요

코스트카 수(Kostka number) $K_{\lambda\mu}$ : 형태가 $\lambda$이고 weight이 $\mu$인 준표준 영 태블로의 수
슈르 다항식(Schur polynomial) $s_{\lambda}$ 을 단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial) $m_{\mu}$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다

\[s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\ \]

군 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$에 대응되는 weight space의 차원

예

$n=3$라 두고, $\lambda$가 4의 분할로 주어지는 경우, 슈르 다항식(Schur polynomial)은 다음과 같은 표로 주어진다

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

$\lambda=(3,1)$이면,

$$ \begin{align} s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ & = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(3,1,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \end{align} $$

코스트카 수 (Kostka number)

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