스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

개요

• $n\geq 2$ 자연수
• $L$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
• $\rm{Aut}(L)$ : 자기동형군
• ${\rm gen}(L)$ : $L$과 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
• $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의

$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

예

• n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\]

여기서 $B_k$는 베르누이 수

• 8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식의 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{696729600} $$

• 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다

메모

• the Siegel–Weil formula, introduced by Weil (1964, 1965) as an extension of the results of Siegel (1951, 1952), expresses an Eisenstein series as a weighted average of theta series of lattices in a genus, where the weights are proportional to the inverse of the order of the automorphism group of the lattice.
• For the constant terms this is essentially the Smith–Minkowski–Siegel mass formula.
• http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/
  • http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/chap7.pdf
• Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for the Fourier coefficients of Siegel-Eisenstein series of degree $3$." Nagoya Mathematical Journal 146 (1997): 199-223.
• Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for Siegel series." American journal of mathematics (1999): 415-452.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Smith–Minkowski–Siegel_mass_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers

리뷰, 에세이, 강의노트

• Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
• Siegel's integral
• Siegel-Weil Formulas

관련논문

• Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
• Weil, André. “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires.” Acta Mathematica 111, no. 1 (July 1, 1964): 143–211. doi:10.1007/BF02391012.