타자의 타율과 연분수

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 7월 2일 (수) 20:01 판
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개요

  • 다음 문제를 생각하자

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다
  • 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다

 

287타수를 얻는 법

  • 연분수 근사를 해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]\[\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\]\[\frac{96}{287}=0.334494\cdots \]
  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
  • 629/1886 = 0.33351007423117707

 

 

286타수 이하에서는 불가능함을 보이기

정리

임의의 자연수 \(q\) 와 \(1\leq p<287\) 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다. \[|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\]

증명

\(3\leq p<287\) 인 경우에,

\[ \begin{aligned} {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} \end{aligned} \]

임을 보이면 된다.

이제 \[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\] 의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다. \[|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\] ■

 

 

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