16차원 짝수 자기쌍대 격자

개요

• $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자

격자의 지겔 세타함수

• 격자 $L$에 대한 지겔 세타함수는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 정의된 함수로

$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$

• $\Gamma_g:={\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 지겔 모듈라 형식

g가 1인 경우

• $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다

$$ E_4^2(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+37500480 q^5+\cdots $$

g가 4인 경우

• $\Theta^{(4)}_{E_8^2}(Z)$, $\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}(Z)$는 $\Gamma_4$에 대한 지겔 모듈라 형식
• $\Theta^{(4)}_{E_8^2}-\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}$는 weight 8인 지겔 cusp 형식으로 Schottky 형식이라 불림

관련된 항목들

• 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUkhvXzBvVlZVZVE/edit

관련논문

• Poor, Cris. 1996. “Schottky’s Form and the Hyperelliptic Locus.” Proceedings of the American Mathematical Society 124 (7): 1987–91. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6.
• Igusa, Jun-ichi. 1981. “Schottky’s Invariant and Quadratic Forms.” In E. B. Christoffel, edited by P. L. Butzer and F. Fehér, 352–62. Birkhäuser Basel. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-5452-8_24.