스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

개요

주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

$n\geq 2$ 자연수
$f$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
${\rm gen}(f)$ : $f$와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
$\rm{Aut}(\cdot)$ : 자기동형군
$f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의

$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

예

n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 $B_k$는 베르누이 수

8차원

8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{696729600} $$

696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다

16차원

16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} $$

24차원

\ref{evenu}의 값은 다음과 같다

$$ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} $$

지겔-베유 공식

지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
스미스-민코프스키-지겔 질량 공식은 이 공식의 상수항에 해당
rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로

$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$

${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 지겔 모듈라 형식
랭크가 $g\leq n$인 격자들을 $L$에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다

정리

$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),$$ 여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존

타마가와는 질량 공식이 직교군의 타마가와 수가 2라는 것과 동치임을 보임

8차원

$g=1$의 경우
$E_8$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4$와 같다

$$\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)$$

16차원

$g=1$의 경우
$E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다

24차원

$g=1$의 경우

$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)$$

여기서 $E_{12}$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

$$ E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots $$

메모

Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326

수학용어번역

Maßformel - measure formula
mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역

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질문과 답변

리뷰, 에세이, 강의노트

Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
Siegel's integral
Haruzo Hida, Siegel-Weil Formulas, 2007
Kimball Martin, lecture notes for number theory
- chapter 7. Quadratic Forms

관련논문

Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
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Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.
Minkowski, Hermann. 1882. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten
Smith, HJ Stephen. "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates." Proceedings of the Royal Society of London 16 (1867): 197-208.

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