오일러 연분수
개요
- 다음과 같은 형태의 등식이 성립한다
$$ a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{a_3}{1+a_3-\frac{a_4}{1+a_4-\frac{a_5}{1+a_5-\frac{a_6}{1+a_6}}}}}}=a_0+a_1+a_1 a_2+a_1 a_2 a_3+a_1 a_2 a_3 a_4+a_1 a_2 a_3 a_4 a_5+a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 $$
예
$$ \begin{array}{c|c|c} n & {} & {} \\ \hline 0 & a_0 & a_0 \\ \hline 1 & a_0+a_1 & a_0+a_1 \\ \hline 2 & a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2}} & a_0+a_1+a_1 a_2 \\ \hline 3 & a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{a_3}{1+a_3}}} & a_0+a_1+a_1 a_2+a_1 a_2 a_3 \\ \hline 4 & a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{a_3}{1+a_3-\frac{a_4}{1+a_4}}}} & a_0+a_1+a_1 a_2+a_1 a_2 a_3+a_1 a_2 a_3 a_4 \\ \hline 5 & a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{a_3}{1+a_3-\frac{a_4}{1+a_4-\frac{a_5}{1+a_5}}}}} & a_0+a_1+a_1 a_2+a_1 a_2 a_3+a_1 a_2 a_3 a_4+a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 \\ \hline 6 & a_0+\frac{a_1}{1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{a_3}{1+a_3-\frac{a_4}{1+a_4-\frac{a_5}{1+a_5-\frac{a_6}{1+a_6}}}}}} & a_0+a_1+a_1 a_2+a_1 a_2 a_3+a_1 a_2 a_3 a_4+a_1 a_2 a_3 a_4 a_5+a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 \end{array} $$