룽에-쿠타 방법
개요
- 미분방정식
$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \label{eqn} $$ 의 수치해를 구하는 방법
- 작은 상수 $h$를 고정
- $x_{k+1}=x_{k}+h$라 두자
- 초기값 $(x_0,y_0)$가 주어져 있을 때, 다음의 점화식을 이용하여 \ref{eqn}의 수치해를 구함
\[ y_{k+1} = y_k + \tfrac{1}{6}h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) \]
여기서 \[ \begin{align} z_1 &= f(x_k, y_k) \\ z_2 &= f(x_k + \tfrac{1}{2}h, y_k + \tfrac{1}{2}h z_1) \\ z_3 &= f(x_k + \tfrac{1}{2}h, y_k + \tfrac{1}{2}h z_2) \\ z_4 &= f(x_k + h, y_k + h z_3) \end{align} \]
- 일반적으로, 적당한 상수 $\alpha_0,\{\alpha_j,b_j,\mu_j\}_{j=1}^{p}$에 대하여 다음과 같은 형태의 점화식을 이용하여 \ref{eqn}의 수치해를 구하는 것을 룽에-쿠타 방법이라 함
\[ y_{k+1} = y_k + h\left(\alpha_0(x_k,y_k)+\sum_{j=1}^{p}\alpha_jf(x_k+\mu_jh,y_k+b_jh) \right) \]
예
미분방정식 $y'=y$
- $h=0.1$, $x_0=0,y_0=1$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & \text{Runge-Kutta} & e^x \\ \hline 0. & 1 & 1. \\ 0.1 & 1.10517 & 1.10517 \\ 0.2 & 1.2214 & 1.2214 \\ 0.3 & 1.34986 & 1.34986 \\ 0.4 & 1.49182 & 1.49182 \\ 0.5 & 1.64872 & 1.64872 \\ 0.6 & 1.82212 & 1.82212 \\ 0.7 & 2.01375 & 2.01375 \\ 0.8 & 2.22554 & 2.22554 \\ 0.9 & 2.4596 & 2.4596 \\ 1. & 2.71828 & 2.71828 \\ \end{array} $$
미분방정식 $y'=-2x y$
- $h=0.1$, $x_0=0,y_0=1$
$$ \begin{array}{c|c|c} x & \text{Runge-Kutta} & e^{-x^2} \\ \hline 0. & 1 & 1. \\ 0.1 & 0.99005 & 0.99005 \\ 0.2 & 0.960789 & 0.960789 \\ 0.3 & 0.913931 & 0.913931 \\ 0.4 & 0.852144 & 0.852144 \\ 0.5 & 0.778801 & 0.778801 \\ 0.6 & 0.697676 & 0.697676 \\ 0.7 & 0.612627 & 0.612626 \\ 0.8 & 0.527293 & 0.527292 \\ 0.9 & 0.444859 & 0.444858 \\ 1. & 0.367881 & 0.367879 \\ \end{array} $$
미분방정식 $y'+y=x$
- $h=0.1$, $x_0=0,y_0=1$
$$ \begin{array}{c|c|c} x & \text{Runge-Kutta} & x+2 e^{-x}-1 \\ \hline 0. & 1 & 1. \\ 0.1 & 0.909675 & 0.909675 \\ 0.2 & 0.837462 & 0.837462 \\ 0.3 & 0.781637 & 0.781636 \\ 0.4 & 0.740641 & 0.74064 \\ 0.5 & 0.713062 & 0.713061 \\ 0.6 & 0.697624 & 0.697623 \\ 0.7 & 0.693171 & 0.693171 \\ 0.8 & 0.698659 & 0.698658 \\ 0.9 & 0.71314 & 0.713139 \\ 1. & 0.73576 & 0.735759 \\ \end{array} $$
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스