테스트

개요

j-불변량
- 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장

정의

$q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}$라 두자
타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 $g_2,g_3$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

singular moduli

quadratic imaginary number 에서의 값
예 :

$$j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3$$

타원 모듈라 j-함수의 singular moduli 참조
판별식이 -23인 세 이차형식 (숫자 23과 다항식 x³-x+1 참조)

$$ x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 $$ 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자 $$ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)$$

이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다

$$ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 $$

슈나이더의 정리

복소상반평면의 대수적 수 $\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}$에 대하여, $\tau$가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, $j(\tau)$는 초월수이다.

푸리에 계수

$j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots$로 두면, $c(n)$은 다음과 같이 주어진다
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 $I_ 1$ 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, $hh'\equiv -1 \mod k$. $A_k(n)$은 클루스터만 합의 특수한 경우

점근 급수

$$ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) $$

무한곱

다음이 성립한다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_Lie_algebra)

$$ j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} $$

모듈라 다항식

j-불변량과 모듈라 다항식
$\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 기약다항식 $\Phi_n(x,y)\in{\mathbb{

Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다

역사

1877 데데킨트
1878 클라인

메모

Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Cohen, Paula B. 2000. “On the Modular Function and Its Importance for Arithmetic.” In Noise, Oscillators and Algebraic Randomness, edited by Michel Planat, 388–397. Lecture Notes in Physics 550. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-45463-2_21. http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45463-2_21
B.J.Green The Ramanujan Constant. An Essay on Elliptic Curves, Complex. Multiplication and Modular Forms.
Stark, H. M. 1973. “Class-Numbers of Complex Quadratic Fields.” In Modular Functions of One Variable I, edited by Willem Kuijk, 153–174. Lecture Notes in Mathematics 320. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-38509-7_5.

정의

$q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}$라 두자
타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 g_2,g_3는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

singular moduli

quadratic imaginary number 에서의 값
예 :

\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]

타원 모듈라 j-함수의 singular moduli 참조
판별식이 -23인 세 이차형식 (숫자 23과 다항식 x³-x+1 참조)

\[ x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 \] 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자 \[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)\]

이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다

\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]

슈나이더의 정리

복소상반평면의 대수적 수 $\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}$에 대하여, $\tau$가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, $j(\tau)$는 초월수이다.

푸리에 계수

j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots로 두면, c(n)은 다음과 같이 주어진다
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 $I_ 1$ 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, $hh'\equiv -1 \mod k$. A_k(n)은 클루스터만 합의 특수한 경우

점근 급수

\[ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) \]

무한곱

다음이 성립한다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_Lie_algebra)

\[ j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} \]

모듈라 다항식

j-불변량과 모듈라 다항식
\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0를 만족하는 기약다항식 \Phi_n(x,y)\in{\mathbb{

Z}}[x,y]이 존재하며, 이 때 차수는 x,y 각각에 대하여 \psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)로 주어진다

역사

1877 데데킨트
1878 클라인

메모

Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli

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Cohen, Paula B. 2000. “On the Modular Function and Its Importance for Arithmetic.” In Noise, Oscillators and Algebraic Randomness, edited by Michel Planat, 388–397. Lecture Notes in Physics 550. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-45463-2_21. http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45463-2_21
B.J.Green The Ramanujan Constant. An Essay on Elliptic Curves, Complex. Multiplication and Modular Forms.
Stark, H. M. 1973. “Class-Numbers of Complex Quadratic Fields.” In Modular Functions of One Variable I, edited by Willem Kuijk, 153–174. Lecture Notes in Mathematics 320. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-38509-7_5.

테스트

목차

개요

정의

singular moduli

슈나이더의 정리

푸리에 계수

무한곱

모듈라 다항식

역사

메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

관련도서

리뷰논문, 에세이, 강의노트

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슈나이더의 정리

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