슬레이터 3

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• 슬레이터 3

 

 

 

 

항등식의 분류

• 슬레이터 목록 (Slater's list)
• E(2)
  

 

 

켤레 베일리 쌍의 유도

• q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
  \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\),  \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
  \(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\)
  
• 다음의 특수한 경우
  \(x=q^2, y\to\infty, z\to\infty\).
  
•  
  얻어진 켤레 베일리 쌍
  \(\delta_n=q^{n^2+n}\)
  \(\gamma_n=\frac{(1-q)}{(q)_{\infty}}q^{n^2-n}\)
  

 

 

베일리 쌍의 유도

•  
  다음을 이용 [Slater51] (4.2)
  
• \(\sum_{r=-[n/2]}^{r=[n/2]}\frac{(1-aq^{4r})(q^{-n})_{2r}a^{2r}q^{2nr+r}(d)_{q^2,r}(e)_{q^2,r}}{(1-a)(aq^{n+1})_{2r}d^re^r(aq^2/d)_{q^2,r}(aq^2/e)_{q^2,r}}=\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}\)
• 다음의 특수한 경우
  \(a=q,d\to\infty,e\to\infty\)
  
• 얻어진 베일리 쌍
  \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)\)
  \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{(-1)^n}{(q^2;q^2)_{n}}\)