공변미분(covariant derivative)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 13일 (금) 13:54 판
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개요

 

 

 

local expression
  • \(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)
  • 접속 (connection)
    \(\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\)
  • 다양체 M의 coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)\) 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 \(Y\) 의 공변미분
    \(\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)

 

 

 

평행이동
  • 벡터장 \(Y\) 의 공변미분이 0일 때, 즉
    \(\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\)

 

 

측지선
  • \(Y=\alpha'(t)\) 로 주어지는 경우,
    \(\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)
    \(\frac{DY}{dt}= 0\) 을 만족하는 경우, 곡선\(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)\)를 측지선 이라 한다

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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