스털링 수
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2020년 12월 28일 (월) 02:38 판
개요
- \(s(n,k)\) 제1종 스털링 수
\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]
- \(S(n,k)\) 제2종 스털링 수
\[x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\]
제1종 스털링 수
- 정의
\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]
- 예
\[(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\] \[s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1\]
- 점화식
\[ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) \]
제2종 스털링 수
- n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 \(S(n,k)\)
- 제2종 스털링 수
\[x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j\]
- 예
\[x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)\] \[S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1\]
- 점화식
\[ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) \]
- 생성함수
\[\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\]
- 지수생성함수
\[\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\]
벨 수열 (Bell number)과의 관계
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
- \(B(n)=\sum_{k}S(n,k)\)
- 집합 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 의 분할의 개수
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.\]
메모
- Zhao, Wei, Jianrong Zhao, and Shaofang Hong. “The 2-Adic Valuations of Differences of Stirling Numbers of the Second Kind.” arXiv:1407.8443 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8443.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스