이차 수체의 데데킨트 제타함수
개요
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다
\[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s) \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수이고 \(L_{d_K}(s)\)는 다음과 같이 정의된 디리클레 L-함수 \[L_{d_K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(\frac{d_K}{p})}{p^{s}}\right)^{-1}\] 여기서 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 은 홀수인 소수 \(p\in \mathbb{Z}\)에 대하여 다음을 만족하는 준동형사상 \[\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\]
제타함수의 분해
- 정리
\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\]
- 증명
제타함수의 오일러곱 \[\zeta_{K}(s)=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \left(1-N(\mathfrak{p})^{-s}\right)^{-1}\] 을 이용하자. 각 소수 \(p\in \mathbb{Z}\) 에 대하여, 다음과 같은 아이디얼 \((p)\subseteq \mathcal{O}_K\)의 분해를 얻는다.
- \(\left(\frac{d_K}{p}\right)=1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\) , \(\mathfrak{p}_1\neq \mathfrak{p}_2\) 이고 \(N(\mathfrak{p}_1)=N(\mathfrak{p}_2)=p\)
- \(\left(\frac{d_K}{p}\right)=-1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}\) 이고 \(N(\mathfrak{p})=p^2\)
- \(\left(\frac{d_K}{p}\right)=0\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}^2\) 이고 \(N(\mathfrak{p})=p\)
따라서
\[\zeta_{K}(s)=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \left(1-N(\mathfrak{p})^{-s}\right)^{-1}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)^{-1}\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(\frac{d_K}{p})}{p^{s}}\right)^{-1}.\]
이로부터 \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\) 를 얻는다. ■
- 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
- 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
- 정리
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\) \[L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\]