그라스만 다양체

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 8월 15일 (수) 16:48 판
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개요
  • Gr_{nk} = k-plane in n-space
  • 실 그라스만 다양체
    \(Gr_{kn}(\mathbb{R}) = \{V\subset \mathbb{R}^n | \dim V = k\}\)
  • rank가 k인 k x n 행렬로 그라스만 다양체의 한 점을 표현할 수 있다

 

 

Plücker embedding
  • 그라스만 다양체를 사영공간으로 embedding
  • \(N=\binom{n}{k}\)

 

\(Gr_{kn}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{N-1}\)

Plücker 좌표

\(\Delta_{I}(A)\) = determinant of submatrix of A with column set I

 

 

 

Gr(2,4) 의 예
  • 4차원 다양체
  • 다양체 위의 한점은 다음과 같은 형태의 rank가 2인 행렬로 나타낼 수 있다
    \(\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \end{array} \right)\)
  • Plücker embedding \(Gr_{24}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{5}\)
  • Plücker 좌표
    \(\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}\)

 

 

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