대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

\(C_\mathbf{i}}\) : conjugacy class in \(S_{m}\) where \(\mathbf{i}}=(i_1,i_2,\cdots,i_m)\) and \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\)
\(\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)
여기서 \(S_{\lambda}\) 는 슈르 다항식(Schur polynomial)

\(S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3\)

\(\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)

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